度量感知 PCA 作为几何深度学习的线性实例

arXiv:2605.27456v1 公告类型：新 摘要：几何深度学习围绕其数据域的对称性组织神经架构，选择对称组作为几何先验，决定可以学习哪些表示。度量感知主成分分析 (MAPCA) 通过正定度量矩阵对主成分分析进行参数化，并在标准 PCA 和输出白化之间插值规范子族，以及恢复不变 PCA (IPCA) 的对角度量点。本文将 MAPCA 定位在几何深度学习框架内。该度量被解读为几何先验；保留它的正交群是它导出的对称群； MAPCA 解在该组下是等变的，并且所得谱不变； MAPCA 的定义约束是等变网络中使用的 Schur 型权重约束的线性模拟。跨越六个轴——域、对称群、等变性、不变性、架构原语和几何先验——我们在 MAPCA 和几何深度学习之间构建了一个精确的字典。技术锚点是一个唯一性定理，将 IPCA 描述为 MAPCA 系列中唯一的线性数据导出度量，该度量在任意对角线重新缩放下是等变的，并投影到动作的定点集上，在归一化下相当于其精确形式的方差最大化准则。本文以三座桥梁结束：作为非线性扩展的核 PCA、作为图上 MAPCA 的谱图方法以及将定位扩展到深度等变网络的深度 MAPCA 结构